2.5. التحليل بطريقة التيارات الحلقية

0039 0040 0041 0042 0043 0044 0045 0046 0047 0048 0049

 

 

سنقوم في هذه الفقرة بتوضيح كيفية تحليل الدارات بطريقة عامة أخرى، والتي تعرف بطريقة التيارات الحلقية. تدعى الدارات التي يمكن رسمها في مستو واحد دون أن يتقاطع أي عنصر (أو سلك) مع آخر فيها بـ الدارات المستوية. بالمقابل، فإذا اضطررنا أن نرسم الدارة بوجود عناصر تتقاطع مع بعضها، فندعوها بـ الدارات الغير مستوية. ندرس في هذه الفقرة الدارات المستوية فقط.

فلنبدأ بالدارة المستوية الموضحة في الشكل 2.32(a). افترض أن قيم منابع الكمون والممانعات معلومة ونريد حل التيارات في الدارة. نقوم أولا بكتابة معادلات التيارات الموجودة في الشكل 2.32(a)، والتي تدعى بالتيارات الفرعية لأن كل فرع في الدارة يحتوي على تيار معين. لكن، ومع كثرة التيارات، سنجد بأن الحل بطريقة التيارات الحلقية الموضحة في الشكل 2.32(b) يجعل إيجاد هذه التيارات أسهل.

نحتاج إلى ثلاثة معادلات مستقلة لحلها بالنسبة للتيارات الثلاثة الفرعية المبينة في الشكل 2.32(a). عادة ما يكون عدد معادلات KVL المستقلة التي يمكن أن نحصل عليها في دارة مستوية مساويا لعدد المربعات التي ترسمها هذه الدارة. فمثلا، الدارة في الشكل 2.32(a) تحتوي على مربعين: أحدهما يحدده ، ، و ، بينما يحدد الآخر كلا من ، ، و . ومنه، فيمكننا في هذه الدارة كتابة معادلتين مستقلتين من معادلات KVL. يجب علينا تطبيق KCL أيضا على الدارة للحصول على المعادلة الثالثة اللازمة للحل.

تطبيق KVL على الحلقة المكونة من ، ، و  يعطينا العلاقة التالية

 

(2.50)

 

 

وبالمثل، فمن الحلقة المكونة من ، ، و ، نحصل على العلاقة

 

(2.51)

 

 

أما بتطبيق KCL على العقدة الموجودة عند النهاية العليا لـ ، نحصل على

 

(2.52)

 

 

ثم نحل العلاقة 2.52 بالنسبة لـ  ونعوضها في العلاقة 2.50 و 2.51. مما يعطينا المعادلتين التاليتين:

(2.53)(2.54)

 

 

الشكل 2.32 الدارة المستخدمة لتوضيح كيفية تحليل الدارات بطريقة التيارات الحلقية.

 

وبذلك نكون قد استخدمنا علاقة KCL لتعويضها في علاقتي KVL وتخفيض عدد المتحولات فيها إلى اثنين.

الآن انظر إلى التيارين الحلقيين  و  الموضحين في الشكل 2.32(b). يجري التياران في حلقتين مغلقتين كما يوضح لنا الشكل. إذا، فهما يقومان تلقائيا بتحقيق قانون KCL (من ناحية أن التيارات الداخلة إلى مجموعة مغلقة تساوي التيارات الخارجة منها، فهنا التيار يبقى داخل المجموعة المغلقة وبالمقابل لا يدخل لهذه المجموعة أي تيار خارجي). عندما تجري عدة تيارات حلقية من خلال عنصر واحد، فنعتبر التيار الكلي المار في هذا العنصر هو المجموع الجبري لتلك التيارات الحلقية. إذا، فعندما نفرض الجهة المرجعية للتيار المار في الممانعة نحو الأسفل، سيكون التيار المار في  هو . ومنه فإن . والآن إذا تتبعنا التيار  عبر حلقته وكتبنا علاقة KVL الخاصة بها فنحصل على العلاقة 2.53 مباشرة. وبشكل مماثل، نستطيع تتبع التيار ، نحصل على العلاقة 2.54 مباشرة.

بما أن التيارات الحلقية تلقائيا تحقق شروط KCL، فتُختصَر بعض الخطوات في كتابة وحل معادلات الدارة. فلنأخذ الدارة المبينة في الشكل 2.32. لن تكون الفائدة من طريقة التيارات الحلقية أعظمية هنا، لأن الدارة بسيطة نسبيا. لكن الفائدة ستكون كبيرة عند حل الدارات المعقدة.

 

اختيار التيارات الحلقية

يمكننا في الدارات المستوية اختيار متحولات التيار بحيث تمر من خلال محيط كل حلقة في الدارة. ولكي نعمل على طريقة ثابتة، فنقوم دائما بتحديد جهة التيار المار بالحلقة لتكون مع عقارب الساعة.

يوضح الشكل 2.33 دارتين مع الحلقات الممكن اعتبارها في كل منهما. عندما تُرسم دارة دون أن تتقاطع عناصرها مع بعضها، نلاحظ تكون شكل نافذة، حيث أن كل حلقة منها تمثل قطعة من الزجاج. حتى أنه يقال أحيانا بأنه يمكن تحديد التيارات الحلقية عن طريق “مسح ألواح الزجاج.”

تذكر أنه إذا مر تياران حلقيان في أحد عناصر الدارة، عندئذ نعتبر التيار المار فيه هو الجمع الجبري لهذه التيارات الحلقية. فعلى سبيل المثال، في الشكل 2.33 (a)، نلاحظ أن التيار المار عبر المقاومة  هو  باعتبار اليسار جهة مرجعية للتيار. وزيادة على ذلك فإن التيار المار في المقاومة  هو  باعتبار الجهة المرجعية للتيار نحو الأعلى.

 

التمرين 2.17      خذ الدارة المبينة في الشكل 2.33 (b). باستخدام طريقة التيارات الحلقية، أوجد التيار في أ.  باعتبار جهة التيار المرجعية نحو الأعلى؛ ب.  والمرجع لليمين؛ جـ.  والمرجع للأسفل؛ د.  والمرجع للأعلى.

الجواب       أ. ؛ ب. ؛ جـ. ؛ د. . [لاحظ أن الجواب في (د) هو القيمة السالبة للجواب في (جـ).]

 

الشكل 2.33 دارتين مع متحولات التيارات الحلقية.

 

كتابة المعادلات لإيجاد التيارات الحلقية

يمكننا كتابة المعادلات المطلوبة في الدارات التي تحتوي فقط على ممانعات ومنابع كمون مستقلة، عن طريق ملاحقة كل تيار حول حلقته وتطبيق قانون KVL. (لا نحتاج إلى تطبيق KCL لأن التيارات الحلقية تخرج من كل عقدة تدخل إليها.)

 

المثال 2.12    تحليل الدارات بطريقة التيارات الحلقية

اكتب المعادلات اللازمة لإيجاد التيارات الحلقية في الشكل 2.33 (a).

الحل       من الأفضل اتباع جهة واحدة للتيارات الحلقية المختارة في الدارات وذلك لتجنب الخطأ. دعنا نستخدم الاتجاهات لتكون مع عقارب الساعة دائما. ومن ثم سنقوم بكتابة معادلة KVL لهذه الحلقة، وذلك بالانتقال حول الحلقة مع عقارب الساعة. نفعل كما تعودنا سابقا، حيث نضيف قيمة منابع الكمون التي نصادفها إذا وصلنا لطرفها المرجعي الموجب أولا، أو نطرح قيمتها إذا وصلنا إلى قطبها المرجعي السالب أولا. وفي اسلوبنا هنا (ندور مع عقارب الساعة) سنعتبر الطرف الأول الذي نصل إليه من المقاومة هو قطبها المرجعي الموجب، ولذلك سنقوم دائما بإضافة قيمة كمون المقاومة.

مثلا، في الحلقة 1 من الشكل 2.33(a)، يكون لدينا

 

 

أيضا وبنفس الطريقة في الحلقة 2، نحصل على

 

 

وفي النهاية، معادلة الحلقة 3، نحصل على

 

 

لاحظ أننا حددنا الجهة المرجعية الموجبة لكمون  للأعلى عندما كتبنا معادلة الحلقة 1 ثم للأسفل في معادلة الحلقة 2. وهذا ليس بخطأ، لأن الجهات المرجعية للتيارات الحلقية التي فرضناها في الحلقات متعاكسة، أي أنها متعاكسة بالإشارة أيضا.

وعندما نرتب المعادلات بشكلها الطبيعي، نحصل على:

 

 

 

وعلى شكل مصفوفات، نحصل على

 

 

نستخدم عادة R للدلالة إلى مصفوفة الثوابت، و I للدلالة إلى مصفوفة التيارات الحلقية التي نبحث عنها، و V للدلالة إلى مصفوفة العناصر الموجودة على الطرف الأيمن للمعادلات. وعلى هذا الأساس نمثل معادلات التيارات الحلقية بالشكل

 

 

نرمز للمقدار الموجود في الصف رقم i والعمود رقم j من R بالرمز .

 

التمرين 2.18      اكتب معادلات التيارات الحلقية للدارة في الشكل 2.32(b) واكتبها على شكل مصفوفة.

الجواب       سنحصل على المعادلات التالية لدى تتبعنا للتيارات الحلقية بالترتيب:

 

 

 

(2.55)

 

 

حل معادلات التيارات الحلقية

يمكننا الآن، بعدما حصلنا على معادلات التيارات الحلقية، أن نحلها بنفس الطرق التي ناقشناها في الفقرة 2.4 الخاصة بطريقة كمونات العقد. كما أننا سنوضح ذلك بمثال.

الشكل 2.34 دارة المثال 2.13.

 

المثال 2.13    تحليل الدارات بطريقة التيارات الحلقية

أوجد التيار المار عبر كل عنصر من الدارة الموضحة في الشكل 2.34.

الحل       نقوم أولا بالتعرف على التيارات الحلقية التي سنتعامل معها. ثم نحدد جهة دورانها المرجعية كما فعلنا سابقا لتكون مع جهة دوران عقارب الساعة. ثم نقوم بكتابة قانون KVL للحلقة 1:

(2.56)

 

أما بالنسبة للحلقتين 2 و 3، فيكون لدينا المعادلات:

(2.58)
(2.57)

 

وعندما نرتب المعادلات بشكلها المعتاد نحصل على:

(2.61)
(2.60)
(2.59)

 

 

وبالشكل المصفوفي، تصبح المعادلات كالتالي:

 

 

يمكن حل هذه المعادلات بعدة طرق. سنوضح ذلك باستخدام برنامج MATLAB. (يمكن الحصول على النتائج ذاتها باستخدام هذه التعليمات في “LabView MathScript”.) وكما قلنا سابقا، سنستخدم الرمز R لمصفوفة الثوابت، وذلك لأنها غالبا ما تكون عبارة عن ممانعات، كما أننا سنرمز بـ V لمصفوفة الطرف الأيمن، وذلك لأنها غالبا ما تكون كمونات، وسنرمز بـ I لمصفوفة التيارات الحلقية. وبذلك تكون التعليمات والنتائج كالتالي:

 

>>   R   =   [30 -10 -20; -10 22 -12; -20 -12 46];

>>   V  =   [70; -42; 0];

>>   I    =   R\V

حاول تجنب استخدام الرمز i في بيئة الـ MATLAB، لأنها تعبر عن الرقم التخيلي “جذر الـ -1”.

I =

  1. 0000
  2. 0000
  3. 0000

 

إذاً، فقيم التيارات الحلقية هي ، ، . ومن ثم يمكننا إيجاد التيار المار عبر أي عنصر من هذه الدارة. مثلا، التيار المار باتجاه الأسفل عبر الممانعة 10أوم هو .

 

التمرين 2.19      استخدم طريقة التيارات الحلقية لإيجاد التيار المار عبر الممانعة 10أوم في الشكل 2.35. وتحقق من إجابتك عن طريق جمع الممانعات على التسلسل والتفرع للحصول على الدارة المكافئة وحلها. تأكد من إجابتك مرة ثانية باستخدام طريقة كمونات العقد.

الجواب       قيمة التيار المار في الممانعة 10أوم هي 5أمبير.

التمرين 2.20      استخدم طريقة التيارات الحلقية لإيجاد قيم التيارات المارة عبر الممانعة 2أوم في الشكل 2.24.

الجواب       قيمة التيار هي 1.613أمبير وجهته نحو اليمين.

 

كتابة معادلات التيارات الحلقية بالصيغة المصفوفية مباشرة

إذا كانت الدارة تحتوي فقط على ممانعات ومنابع كمون مستقلة، وإذا كانت الجهة المرجعية للتيارات الحلقية محددة لتكون مع جهة دوران عقارب الساعة، عندها فقط يمكننا الحصول على معادلات التيارات الحلقية بصيغتها المصفوفية مباشرة عن طريق اتباع الخطوات التالية:

 

  1. تأكد أن الدارة تحتوي فقط على ممانعات ومنابع كمون مستقلة. حدد الجهة المرجعية لجميع التيارات الحلقية بحيث تكون مع جهة دوران عقارب الساعة.
  2. اكتب حاصل جمع الممانعات الموجودة في الحلقة في الحقل الموافق لها على القطر الرئيسي لمصفوفة الثوابت R. أي أن الحقل يساوي مجموع الممانعات الموجودة على الحلقة j.
  3. اكتب القيمة السالبة للمقاومات المشتركة بين حلقتين ما في الحقل الموافق لها في مصفوفة الثوابت R. أي أنه عندما تكون ، فقيمة الحقلين و  هي ذاتها وتساوي القيمة السالبة لمجموع الممانعات المشتركة بين الحلقتين i و j.
  4. لكتابة عناصر المصفوفة V، انتقل حول الحلقة الخاصة بكل حقل مع جهة دوران عقارب الساعة، و اطرح قيمة منابع الكمون المستقلة التي تصادف قطبها الموجب أولا، و اجمع قيمة منابع الكمون المستقلة التي تصادف قطبها السالب أولا. (لاحظ أننا عكسنا القاعدة الخاصة بجمع وطرح قيم منابع الكمون والتي كنا نستخدمها في كتابة معادلات KVL وذلك لأن قيم المصفوفة V تقابل نفس قيم قوانين KVL لكن في الطرف الآخر من المعادلات.)

لكن تذكر أن هذه الطريقة غير صحيحة في حال احتوت الدارة على منابع تيار أو منابع متحكم بها.

 

الشكل 2.35 دارة التمرين 2.19.
الشكل 2.36 دارة المثال 2.14.

 

 

المثال 2.14    كتابة معادلات التيارات الحلقية بالصيغة المصفوفية مباشرة

اكتب معادلات الحلقات للدارة في الشكل 2.36 بصيغتها المصفوفية مباشرة.

الحل       المعادلة المصفوفية هي كالتالي:

 

 

لاحظ أن الحلقة 1 تحتوي على كل من ، ، و ، ولذلك فإن قيمة الحقل  من المصفوفة R هي عبارة عن مجموع قيم هذه الممانعات. وبالمثل في الحلقة 2، تحتوي الحلقة على الممانعات ، ، و ، فتكون قيمة الحقل  هي  مجموع قيم هذه الممانعات. وبما أن  مشتركة بين الحلقتين 1 و2، فتكون قيمة الحقل . وبطرق مماثلة يمكننا ملاحظة كيفية تحديد قيم باقي الحقول من المصفوفة R.

بينما ننتقل حول الحلقة 1 مع عقارب الساعة، نصل أولا إلى القطب المرجعي الموجب للمنبع ، ثم القطب المرجعي السالب للمنبع ، ولذلك تكون قيمة الحقل الأول من المصفوفة V هي ، ونحصل على بقية الحقول بنفس الطريقة.

 

التمرين 2.21      ارجع إلى دارة الشكل 2.33(a) واكتب معادلات التيارات الحلقية لها مباشرة بشكلها المصفوفي.

الجواب

 

 

 

طريقة التيارات الحلقية في الدارات التي تحتوي على منابع تيار

تذكر أن منبع التيار يجبر التيار على المرور عبره بقيمة معينة، لكن الكمون على طرفيه غير محدد، وإنما تعتمد قيمته على عناصر الدارة الموصولة مع هذا المنبع. عادة ما يكون من الصعب كتابة معادلة تعبر عن الكمون على طرفي منبع التيار. من الأخطاء الشائعة بين الطلاب المبتدئين هي اعتبار فرق الكمون على طرفي منبع الكمون مساويا للصفر.

الشكل 2.37 لدينا  في هذه الدارة.

 

ولذلك، عندما تحتوي الدارة على منبع تيار ما، فيجب علينا ترك الطريقة التي اعتمدناها للدارات المكونة من منابع كمون وممانعات فقط. أولا، فلنأخذ الدارة في الشكل 2.37. كما تعودنا سابقا، نحدد جهة التيارات الحلقية بحيث تكون مع عقارب الساعة. إذا حاولنا كتابة معادلة KVL للحلقة 1، فسنضطر إلى كتابة مجهول جديد يعبر عن قيمة الكمون على طرفي منبع التيار. وبما أننا لا نريد زيادة عدد المجاهيل في معادلاتنا، فعلينا تجنب كتابة معادلات KVL للحلقات التي تحتوي على منابع تيار. في دارة الشكل 2.37، قمنا بتسمية التيار المار عبر حلقة منبع التيار بـ . لكننا نعلم بأن قيمة التيار المار عبر هذا المنبع هي 2أمبير، أي أنه يمكننا كتابة:

(2.62)

 

أما المعادلة الثانية التي سنحتاجها فيمكن استنتاجها بتطبيق قانون KVL على الحلقة 2، وبذلك نحصل على

(2.63)

 

يمكن وبسهولة حل المعادلتين 2.62 و 2.63 بالنسبة للمتحول . لاحظ أن وجود منبع التيار في هذه الحالة ساعد على تسهيل الحل.

والآن دعنا نأخذ دارة أكثر تعقيدا كتلك الموضحة في الشكل 2.38. كالعادة، سنقوم بتحديد جهة مرور التيار لتكون مع عقارب الساعة. هنا لا يمكننا كتابة معادلة KVL للحلقة 1 لأن الكمون على طرفي منبع التيار “5أمبير” غير معروف (وأي زيادة في عدد مجاهيل المعادلات غير مرغوب بها).

 

الشكل 2.38 دارة تحتوي على منبع تيار مشترك بين حلقتين. 

 

 

 

 

للتخلص من هذه المشكلة نقوم بدمج الحلقتين 1 و2 في حلقة مشتركة. أي أننا نقوم بكتابة معادلات KVL للمسار الخارجي للحلقتين 1 و2 سوية. فنحصل على

(2.64)

 

ثم نستطيع كتابة علاقة KVL للحلقة 3:

(2.65)

 

وبالنهاية، نعرف بأننا حددنا الجهة المرجعية لمرور التيار في منبع التيار بالعلاقة . كما أننا نعلم بأن التيار يمر نحو الأعلى وبقيمة 5أمبير. وبذلك نحصل على

(2.66)

 

من المهم أن نعلم بأن العلاقة 2.66 ليست علاقة لكن هي وبكل بساطة علاقة تربط بين قيمة منبع التيار وعلاقة التيارات الحلقية المارة في منبع التيار ، وقيمة المنبع معلومة وهي 5أمبير. العلاقات 2.64، 2.65، و2.66 يمكن حلها بالنسبة لمتحولات التيارات الحلقية.

 

التمرين 2.22      اكتب المعادلات اللازمة لمعرفة التيارات الحلقية في دارة الشكل 2.39.

الجواب

 

 

 

التمرين 2.23      اكتب المعادلات اللازمة للحصول على قيم التيارات الحلقية في دارة الشكل 2.40. ثم احسب قيم هذه التيارات.

الجواب     المعادلات هي  و . وبالحل نحصل على ، و .

 

الشكل 2.39 دارة التمرين 2.22

 

الشكل 2.40 دارة التمرين 2.23.

 

 

الدارات التي تحتوي على منابع متحكم بها

تضيف المنابع المتحكم بها بعض التعقيد على طريقة التيارات الحلقية. في البداية، نكتب معادلات الحلقات تماما كما فعلنا في الدارات التي تحتوي على منابع مستقلة. ثم نعبر عن متحولات التحكم بدلالة متحولات التيارات الحلقية ونعوض في معادلات الدارة. سنقوم بتوضيح الطريقة بمثال.

 

المثال 2.15    تحليل الدارات ذات منابع متحكم بها بطريقة التيارات الحلقية

أوجد التيارات المارة في الدارة المبينة في الشكل 2.41(a)، والتي تحتوي على منبع تيار متحكم به عن طريق الكمون مشترك بين الحلقتين.

الحل       أولا، نكتب معادلات التيارات الحلقية تماما كما فعلنا بالنسبة للمنابع المستقلة. وبما أنه لدينا منبع تيار مشترك بين الحلقتين 1 و 2، فنبدأ بدمج الحلقات مع بعضها وتشكيل حلقة موسعة وكتابة معادلتها:

(2.67)

 

ثم نكتب قيمة المنبع المتحكم به بدلالة متحولات التيارات الحلقية:

(2.68)

 

والآن نجد بأن كمون التحكم هو:

(2.69)

 

باستخدام العلاقة 2.68 وتعويض قيمة  في العلاقة 2.67، نحصل على

 

الشكل 2.41 دارة تحتوي على منبع تيار متحكم به عن طريق الجهد. انظر المثال 2.15.
(2.70)

 

وفي النهاية نضع العلاقتين 2.67 و 2.70 بأشكالها المعتادة، لنحصل على الترتيب التالي:

(2.71)(2.72)

 

وبحل هذه المعادلات نحصل على قيم التيارات الحقلية  و .

 

باستخدام المبادئ التي ناقشناها في هذه الفقرة، يمكننا كتابة معادلات التيارات الحلقية لأي دارة مستوية مكونة من منابع وممانعات.

أما الآن فسنقوم بتلخيص خطوات تحليل الدارات المستوية بطريقة التيارات الحلقية:

  1. قم أولا بتحديد التيارات الحلقية في الدارة، ومن أجل ذلك حاول رسم الدارة أولا دون العناصر (للسهولة) ثم حدد الحلقات التي تراها في الدارة. عادة ما نقوم بتحديد جهات التيارات الحلقية لتكون دائما مع جهة دوران عقارب الساعة، مع العلم بأن هذا ليس ضروريا إنما هو للحصول على طريقة ثابتة في تحليل الدارات.
  2. ابدأ بكتابة معادلات الدارة، وتوقف عندما يصبح عدد المعادلات مساويا لعدد التيارات الحلقية. أولا، استخدم طريقة KVL لكتابة معادلات الكمونات في الحلقات التي لا تحتوي على منابع للتيار. إذا احتوت الدارة على منابع للتيار، فقم بكتابة قيمة تيارها بدلالة متحولات التيارات الحلقية. وأخيرا، إذا احتوت الدارة على منبع تيار مشترك بين حلقتين فاكتب معادلة KVL للحلقة المشتركة.
  3. في حال احتوت الدارة على منابع متحكم بها، حاول إيجاد علاقة متحول التحكم بدلالة التيارات الحلقية، ثم قم بتعويض هذه العلاقة في معادلات الدارة، واكتب معادلاتك بحيث تصبح تحتوي فقط على متحولات التيارات الحلقية كمجاهيل.
  4. رتب المعادلات لتأخذ شكلها الاعتيادي، ثم قم بحلها بالنسبة للتيارات الحلقية باستخدام طريقة المحددات أو أي طريقة مناسبة.
  5. استخدم قيم التيارات الحلقية التي تحصل عليها لحساب قيمة أي تيار أو كمون مطلوب في الدارة.

 

التمرين 2.24      استخدم طريقة التيارات الحلقية للحصول على قيم التيارات المرسومة في دارة الشكل 2.30 المرسومة سابقا.

الجواب     أ. ؛ ب. .

التمرين 2.25      استخدم طريقة التيارات الحلقية للحصول على قيم كل من  و  في الشكل 2.31 المرسوم سابقا.

الجواب     ، .

 

Advertisements

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار وردبرس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d مدونون معجبون بهذه: