2.4. كمونات العقد

0018 0019 0020 0021 0022 0023 0024 0025 0026 0027 0028 0029 0030 0031 0032 0033 0034 0035 0036 0037 0038 0039

 

جميع الطرق التي درسناها إلى الآن في تحليل الدارات هي طرق مفيدة، لكن لا يمكن تطبيقها على كل أنواع الدارات. فعلى سبيل المثال، خذ الدارة الموضحة في الشكل 2.16. لا يمكن حل هذه الدارة عن طريق مكافأة المقاومات على التسلسل وعلى التفرع لأنه لا يوجد أي منهما في الدارة. أما مقسم الكمون ومقسم التيار فلا يمكن تطبيقهما في هذه الدارة. في هذه الفقرة سوف نتعلم تحليل الدارات باستخدام كمونات العقد، والتي تعد طريقة شاملة يمكن تطبيقها على جميع أنواع الدارات.

 

تحديد العقدة المرجعية

العقدة هي نقطة في الدارة يلتقي عندها عنصران كهربائيان أو أكثر. في تحليل كمونات العقد، نقوم أولا بتحديد إحدى عقد الدارة على أنها العقدة المرجعية. بشكل عام، يمكن اختيار أي عقدة من الدارة لتكون العقدة المرجعية. لكن، لتسهيل الحل نقوم عادة بانتقاء عقدة تتصل بنهاية إحدى منابع الكمون. وسنرى لاحقا لماذا هي طريقة أسهل.

مثلا، لتكن لدينا الدارة الموضحة في الشكل 2.16 والتي تحتوي على أربع عقد. ولنختار العقدة السفلية على أنها العقدة المرجعية. نميز العقدة المرجعية عن طريق وصل علامة التأريض بها، كما هو موضح في الشكل.

 

تسمية الكمونات عند العقد

الآن، نقوم بتسمية الكمونات الموجودة عند كل واحدة من العقد المتبقية. فمثلا، الكمونات عند العقد الثلاثة المتبقية هي ،  و  في الشكل 2.16. الكمون  هو الكمون بين العقدة 1 و العقدة المرجعية. القطبية المرجعية للكمون  تكون موجبة عند العقدة 1 وسالبة عند العقدة المرجعية. وبشكل مماثل،  هو الكمون بين العقدة 2 والعقدة المرجعية، والقطبية المرجعية لها تكون موجبة عند العقدة 2 وسالبة عند العقدة المرجعية. تكون القطبية المرجعية السالبة لجميع العقد في الدارة عند العقدة المرجعية . نقول عن  أنه الكمون عند العقدة 1 مع أخذ العقدة المرجعية بعين الاعتبار.

 

الشكل 2.16 الخطوة الأولى في كمونات العقد هي تحديد العقدة المرجعية وتسمية الكمونات عند كل عقدة.

 

الشكل 2.17 بفرض أنه يمكننا تحديد الكمون عند كل عقدة ، ، و ، فيمكننا استخدام KVL لحساب كل من ، ، و . ثم نستطيع باستخدام قانون أوم أن نحسب التيار المار في كل ممانعة. إذا، المشكلة الأساسية هنا هي أن نستطيع حساب الكمونات عند العقد.

 

إيجاد كمونات العناصر بالاعتماد على كمونات العقد

في تحليل كمونات العقد، نكتب معادلات ونقوم بحلها بالنسبة لكمونات العقد. وعندما نحصل على هذه الكمونات، يصبح من السهل إيجاد التيار، الكمون، والاستطاعة الخاصة بكل عنصر في الدارة.

مثلا، افترض أننا نعلم قيم الكمونات عند العقد ونريد الحصول على الكمون على طرفي  عندما يكون قطبها المرجعي الموجب على طرف اليسار. لكي لا يصبح هناك العديد من الرموز على الشكل 2.16، قمنا برسم مخطط آخر للدارة في الشكل 2.17، ووضحنا عليها كمونات العقد و الكمون  على طرفي ، كما قمنا باستخدام الأسهم لتحديد الجهات المرجعية. (تذكر أن القطب المرجعي الموجب يكون عند رأس السهم.) لاحظ أن ، ، و  هي الكمونات التي نصادفها في الحلقة المغلقة عندما نمر عبر ، ، و . ولذلك فيجب على هذه الكمونات أن تخضع لقانون كيرشوف للكمون. بالانتقال حول هذه الحلقة مع عقارب الساعة وكتابة الكمونات، نحصل على

 

 

 

وبحل هذه المعادلة بالنسبة لـ ، نحصل على

 

 

 

إذا، يمكننا الحصول على الكمون على طرفي أي عنصر في الدارة وهو الفرق بين كمونات العقدتين المحيطتين به. (إذا كانت إحدى نهايات العنصر موصولة مع العقدة المرجعية، فيكون الكمون على طرفي العنصر هو نفسه كمون العقدة الثانية.)

بعد إيجاد الكمونات، يمكننا استخدام قانون أوم و KCL لإيجاد التيار المار في كل عنصر. ثم يمكننا حساب الاستطاعة عن طريق حساب جداء كل من الكمون والتيار الخاصين بكل عنصر.

 

التمرين 2.5        في دارة الشكل 2.17، استخرج معادلات كل من  و  بدلالة الكمونات ، ، و .

الجواب     ، .

 

كتابة معادلات KCL باستخدام كمونات العقد

بعد اختيار العقدة المرجعية وتسمية متحولات الكمون، نكتب المعادلات ونحلها بالنسبة لكمونات العقد. نتابع الشرح باستخدام الدارة في الشكل 2.16.

في الشكل 2.16، الكمون  هو نفسه كمون المنبع :

 

 

 

(في هذه الحالة، نعلم كمون إحدى العقد مباشرة. وهذه هي الفائدة من استخدام إحدى العقد المتصلة مع منبع كمون مستقل على أنها العقدة المرجعية.)

ولهذا السبب، نحتاج أن نحدد قيم كل من  و ، ويجب أن نكتب معادلتين مستقلتين. نبدأ عادة بكتابة معادلات التيار الخاصة بكل واحدة من العقد التي نبحث عن كمونها. فمثلا، في العقدة 2 من دارة الشكل 2.16، التيار المار من  يعطى بالعلاقة

 

 

 

وهذه العلاقة صحيحة لأن  هو الكمون على طرفي  وقطبه الموجب عند العقدة 2. لذلك، فالتيار  يمر من العقدة 2 إلى العقدة المرجعية، أي بعيدا عن العقدة 2.

الآن نتابع في الشكل 2.17، ونرى بأن التيار الخارج من العقدة 2 عبر المقاومة  يعطى بالعلاقة . ولقد وجدنا سابقا أن . ولذلك، يكون التيار الخارج من العقدة 2 والمار عبر  معطى بالعلاقة

 

 

 

وهنا نقف قليلا لننتبه إلى ملاحظة مفيدة: لكي نوجد التيار الخارج من عقدة ما .

إذا، عندما يكون  و  هما كمونا العقدتين، و  هي قيمة الممانعة الموصولة بينهما، فالتيار المار من العقدة n إلى العقدة k يعطى بالعلاقة

 

 

 

وبتطبيق هذه الملاحظة على الشكل 2.16 لإيجاد التيار الخارج من العقدة 2 عبر الممانعة ، نحصل على

 

 

 

[في التمرين 2.5، وجدنا أن . (انظر الشكل 2.17.) قيمة التيار المار إلى اليسار عبر  هي . وبالتعويض نحصل على المعادلة المذكورة سابقا.]

وبالطبع إذا كانت الممانعة موصولة بين العقدة n والعقدة المرجعية، فالتيار الخارج من العقدة n باتجاه العقدة المرجعية هو بكل بساطة كمون العقدة  مقسوما على قيمة الممانعة. فمثلا، كما لاحظنا سابقا، التيار الخارج من العقدة 2 عبر المقاومة  يعطى بالعلاقة .

الآن نطبق KCL، وبتعويض جميع علاقات التيارات الخارجة من العقدة 2 وجمعها مع بعضها ومساواتها بالصفر، نحصل على

 

 

 

وبنفس الخطوات نستطيع كتابة معادلات التيارات الخاصة بالعقدة 3. وبإعادة الحل نجد أن المعادلات أصبحت مألوفة لدينا، ونسبة الأخطاء أصبحت أقل. عادة ما نكتب معادلات التيارات الخارجة من العقدة ونجعل مجموعها مساويا للصفر. بتطبيق هذه الطريقة على العقدة 3 في الشكل 2.16، نحصل على

 

 

 

في العديد من الدارات، يمكننا الحصول على جميع المعادلات اللازمة للحصول على كمونات العقد عن طريق تطبيق KCL على العقد التي يظهر عندها الكمون المجهول.

 

المثال 2.6     التحليل بكمونات العقد

اكتب المعادلات التي يمكن حلها بالنسبة لكمونات العقد ، ، و  الموضحة في الشكل 2.18.

الحل       نستخدم KCL لكتابة المعادلة الخاصة بالعقدة 1:

 

 

 

كل حد من الطرف اليساري لهذه المعادلة يمثل تيارا يغادر العقدة 1. أما بجمع التيارات الخارجة من العقدة 2، فنحصل على

 

 

وبالمثل، عند العقدة 3، نحصل على

 

الشكل 2.18 الدارة الخاصة بالمثال 2.6.
الشكل 2.19 الدارة الخاصة بالتمرين 2.6.

 

 

 

هنا، لدينا التيارات الخارجة من العقدة 3 مكتوبة على الطرف الأيسر للمعادلة، والتيارات الداخلة إليها مكتوبة على الطرف الأيمن.

 

التمرين 2.6        استخدم KCL لكتابة معادلات جميع العقد (ماعدا العقدة المرجعية) للدارة الموضحة في الشكل 2.19.

الجواب  

 

العقدة 1:

العقدة 2:

العقدة 3:

 

 

الشكل العام لمعادلات الدارة

بعدما نكتب المعادلات اللازمة لمعرفة كمونات العقد، نعيد كتابتها بالشكل العام. نضع المتحولات الخاصة بكمونات العقد على الطرف اليساري للمعادلات ونضع جميع الحدود التي لا تحتوي على هذه المتحولات على الطرف اليميني للمعادلات. فإذا كان لدينا كموني عقدتين مجهولين، فيكون الشكل العام لمعادلات الكمون هو:

 

(2.31)(2.32)

 

 

أما إذا كان لدينا دارة تحتوي على ثلاث كمونات مجهولة لثلاث عقد، فيكون الشكل العام لمعادلات الكمون هو:

 

(2.33)(2.34)

(2.35)

 

 

لقد اخترنا الحرف g لنرمز به الثابت المرافق لكمون العقدة لأنه غالبا (ولكن ليس دائما) ما يدل على مسايرات وتكون واحدته السيمنس. وبالمثل، فلقد اخترنا الرمز i للحدود الموجودة على الطرف الأيمن لأنها غالبا ما تكون تيارات.

وبالصيغة المصفوفية، يمكننا كتابة المعادلات كالتالي

 

 

 

حيث أن

 

                                         أو

 

حسب عدد كمونات العقد المجهولة (اثنان أو ثلاثة). وأيضا يكون لدينا

 

                                أو      وأيضا      أو

 

وكلما ازداد عدد العقد وكموناتها، تزداد أيضا أبعاد هذه المصفوفات.

وإحدى طرق حساب كمونات العقد تكون عن طريق إيجاد مقلوب G ومن ثم حساب الجواب من الشكل

 

 

 

 

طريقة مختصرة لكتابة معادلات المصفوفة

إذا وضعنا معادلات العقد لدارة التمرين 2.6 (الشكل 2.19) في شكل مصفوفي، نحصل على

 

 

 

دعنا الآن نقارن بين الدارة في الشكل 2.19 وعناصر هذه المعادلة. أولا، انظر إلى العناصر المتوضعة على قطر المصفوفة G، والتي هي

 

و          و

 

نجد أنها تساوي مجموع الممانعات الموصولة مع العقد الموافقة لها. ثم لاحظ العناصر التي ليست على قطر المصفوفة

 

 

 

في كل حالة، يكون  مساويا للقيمة السالبة للمسايرة الموافقة له والموجودة بين العقدتين j و k. العناصر الموجود في المصفوفة  هي عبارة عن التيارات التي تدخل إلى العقد الموافقة لها بواسطة منابع التيار. هذه الملاحظات تكون موجودة في جميع الدارات التي تتألف من ممانعات ومنابع تيار مستقلة، بفرض أننا نتبع طريقتنا المعتادة في كتابة المعادلات.

لذلك، إذا كانت لدينا دارة مؤلفة من ممانعات ومنابع تيار مستقلة، فيمكننا اتباع الخطوات التالية للحصول بسرعة على معادلات العقد بشكلها المصفوفي.

  1. تأكد من أن الدارة تحتوي فقط على ممانعات ومنابع تيار مستقلة.
  2. العناصر القطرية للمصفوفة هي مجموع المسايرات الموصولة مع كل عقدة موافقة.
  3. العناصر المتبقية (الغير قطرية) من المصفوفة هي القيمة السالبة للمانعات الموصولة بين كل عقدتين موافقتين.
  4. عناصر المصفوفة هي التيارات التي تدخل إلى العقد الموافقة بتأثير منابع التيار.

 

لكن تذكر بأن هذه الطريقة لن تكون صحيحة إذا احتوت الدارة على منابع كمون أو منابع متحكم بها.

 

التمرين 2.7        اكتب بشكل مباشر معادلات العقد بشكلها المصفوفي لدارة الشكل 2.18.

الجواب

 

 

 

المثال 2.7      التحليل بكمونات العقد

اكتب معادلات كمونات العقد الخاصة بالشكل 2.20 بصيغتها المصفوفية.

الحل       بكتابة KCL الخاص بكل عقدة، نحصل على

 

 

الشكل 2.20 الدارة الخاصة بالمثال 2.7.

 

وبتحويل هذه المعادلات إلى شكلها العام، نحصل على

 

 

 

ثم نضعها بالشكل المصفوفي لنحصل على

 

(2.36)

 

 

وبما أن الدارة لا تحتوي على أي منابع كمون أو منابع متحكم بها، فكان بإمكاننا استخدام الطريقة المختصرة لكتابة المصفوفة مباشرة. فمثلا، لدينا  وهي مجموع الناقليات المتصلة بالعقدة 1،  هي القيمة السالبة للناقليات الموصولة بين العقدتين 1 و 2،  هو التيار الذي يدخل إلى العقدة 3 بتأثير منبع التيار ذو القيمة 2 أمبير، وهكذا نتابع.

 

 

حل معادلات الدارة

بعدما نحصل على معادلات الدارة ونكتبها بشكلها العام، فيمكننا حلها بعدة طرق، كالحذف بالتعويض (حل إحدى المعادلات بالنسبة لأحد المجاهيل ومن ثم تعويضه في معادلة أخرى وهكذا)، طريقة غوص (Gaussian elimination)، وطريقة المحددات. كطالب هندسة، فعليك اقتناء (إن لم تفعل بعد) آلة حاسبة قادرة على حل جمل المعادلات الخطية (مثل TI-84 أو TI-89). كما يجب عليك التدرب على التمارين والمسائل في نهاية هذا الفصل.

في بعض الحالات، قد لا تتمكن من استخدام الآلات الحاسبة المتقدمة أو الحواسيب المحمولة. على سبيل المثال، يسمح فقط بإدخال الآلات الحاسبة البسيطة إلى امتحان “مبادئ الهندسة (FE)”، وهو الخطوة الأولى لتصبح واحدا من المهندسين الكهربائيين المحترفين. ويمكنك قراءة شروط استخدام الآلة الحاسبة في فحص مبادئ الهندسة (FE) على الموقع (http://www.ncees.org/exams/calculators/). وبذلك يكون عليك التدرب على واحدة من الآلات الحاسبة المسموح بإدخالها للامتحان حتى لو كان لديك آلات حاسبة أكثر تقدما.

 

التمرين 2.8         استخدم آلتك الحاسبة لحل المعادلة 2.36.

الجواب     ، ، .

 

استخدام برنامج MATLAB لحل معادلات الدارة

إذا كان لديك حاسب مع برنامج الـ MATLAB، فإن لديك نظام هندسي قوي جدا وقادر على تأمين حساباتك العلمية. يتوفر هذا البرنامج في العديد من الكليات الهندسية، وغالبا ما ستخدمه في دراسة دورات أخرى أيضا.

سنوضح في هذا الفصل وما بعده كيف يتم استخدام برنامج الـ MATLAB في العديد من نواحي الدارات وتحليلها، ولكن لا يمكننا تفصيل جميع خواصه المفيدة في هذا الكتاب. إذا كنت مستخدما جديدا لـ MATLAB، وكان البرنامج متوفرا لديك، فقم باستخدام الفيديوهات التعليمية و/أو اقرأ ملف (الشروع بالعمل “Getting Started”) الذي يظهر في أعلى شاشة الأوامر و/أو في قائمة (المساعدة “Help”) لتتعرف على كيفية التعامل مع البرنامج بعض الشيء. كما أنه يمكنك الوصول إلى العديد من الأدوات التعليمية على الانترنت من خلال الموقع (http://www.mathworks.com/academia/student_center/tutorials/register.html). وإن كنت قد قمت باستخدام البرنامج من قبل، فقد تكون بعض الأوامر التي سنستخدمها هنا مألوفة لديك. وفي كلا الحالتين، يجب أن تكون قادرا على تعديل الأمثلة التي سنقدمها لك لتصنع منها مسائلا مشابهة لها.

الآن سنوضح حل المعادلة 2.36 باستخدام الـ MATLAB. عوضا عن استخدام الشكل  لحساب كمونات العقد، يوصي برنامج MATLAB باستخدام الشكل  والتي تظهر كخوارزمية أكثر فعالية لنظام المعادلات الخطية ليقوم بحسابها.

التعليقات التي تأتي وراء الإشارة % يتم تجاهلها من برنامج الـ MATLAB. من أجل التوضيح سنستخدم الخط العريض لكتابة تعليمات الإدخال، والخط العادي لكتابة التعليقات، والخط الملون لكتابة استجابات برنامج الـ MATLAB (>> هي إشارة التلقين الخاصة بالـ MATLAB “إشارة تدل على أن البرنامج جاهز لتلقي الأوامر”.) وفيما يلي نكتب الشكل الذي يجب إدخاله على الـ MATLAB بالنسبة لهذه المسألة

 

>> Clear % أولا نقوم بمسح كل ما في مساحة العمل.

>> % ثم نقوم بإدخال المصفوفة الموافقة للمعادلة 2.36 مع مسافات بين عناصر الصف الواحد

>> % وفواصل منقوطة بين الصفوف.

>> G = [0.45 -0.25 0; -0.25 0.85 -0.2; 0 -0.2 0.30]

G =

  1. 4500 -0.2500                 0

-0.2500        0.8500       -0.2000

0       -0.2000        0.3000

>> % ثم نقوم بإدخال المصفوفة العمودية الموجودة في الطرف اليميني.

>> I = [-3.5; 3.5; 2]

I =

-3.5000

  1. 5000
  2. 0000

>> % يوصينا البرنامج بحساب كمونات العقد باستخدام الشكل

>> %

>> % بدلا من الشكل

>> % .

>>

V =

-5.0000

  1. 0000
  2. 0000

 

وبذلك يكون لدينا ، ، و ، تماما كالنتائج التي حصلت عليها من التمرين 2.8 باستخدام الآلة الحاسبة.

 

برنامج LabVIEW MathScript

توجد طريقة بديلة لحل معادلات الدارة الرقمية عن طريق استخدام برنامج LabVIEW (انظر الملحق F) واستخدام ميزة الـ MathScript المرفقة معه. لبدء العمل أولا نقوم بتشغيل برنامج الـ LabVIEW واضغط على “Blank VI”. سيؤدي ذلك إلى فتح نافذتين جديدتين: نافذة بالاسم “block Diagram” والثانية بالاسم “Front Panel”. افتح القائمة “Tools” في شريط القوائم في إحدى النافذتين، ومن ثم اختر “MathScript Window”…، مما سيؤدي إلى فتح نافذة جديدة يمكنك من خلالها استخدام العديد من الأوامر المستخدمة في برنامج الـ MATLAB. هنا يمكنك إغلاق نافذتي “Block Diagram” و “Front Panel”. أدخل التعليمات في نافذة الأوامر “Command Window”، وستظهر النتائج في نافذة الخرج “Output Window”. إن كنت ترغب باستخدام هذا البرنامج البديل، فابدأ بمحاولة إعادة تطبيق حل الأمثلة في الصفحات السابقة. ببساطة قم بإدخال الأوامر التالية

 

clear

G  =   [0.45 -0.25 0; -0.25 0.85 -0.2; 0 -0.2 0.30]

I    =   [-3.5; 3.5 2]

V   =   G\I

 

في نافذة الأوامر “Command Window” وستظهر النتائج في نافذة الخرج.

 

الشكل 2.21 دارة المثال 2.8.

 

المثال 2.8     التحليل بكمونات العقد

أوجد كمونات العقد الموضحة في الشكل 2.21 و حدد قيمة التيار .

الحل       أول خطوة نقوم بها في حل الدارة هي تحديد العقدة المرجعية وترميز الكمون عند كل عقدة. لقد قمنا بهذا مسبقا، كما هو موضح في الشكل 2.21.

ثم نكتب المعادلات. في هذه الحالة، يمكننا كتابة معادلة التيار الخاص بكل عقدة. وبهذه العملية نحصل على

 

العقدة 1:

العقدة 2:

العقدة 3:

 

ثم نكتب هذه المعادلات بشكلها العام:

 

 

 

أو

حيث أن G تمثل مصفوفة الممانعات الموافقة، V هي المصفوفة العمودية الخاصة بكمونات العقد، و I هي المصفوفة العمودية الخاصة بالتيارات والموجودة على الطرف اليميني للمعادلات.

هنا يمكننا كتابة المعادلات مباشرة بشكلها العام أو المصفوفي باستخدام الطريقة المختصرة، لأن الدارة تحتوي فقط على ممانعات ومنابع تيار مستقلة.

الحل بطريقة برنامج MATLAB هو كالتالي:

>> clear

>> G = [0.35 -0.2 -0.05; -0.2 0.3 -0.1; -0.05 -0.1 0.35];

>> % الفاصلة المنقوطة في نهاية أمر ما تلغي استجابة البرنامج بالنسبة لأمر معين.

>> I    =   [0; 10; 0];

>> V  =   G\I

V =

  1. 4545
  2. 7273
  3. 2727

>> % وفي النهاية نحسب التيار.

>> Ix = (V(1) – V(3)) / 20

Ix =

  1. 9091

 

تستطيع استخدام الأوامر ذاتها على البرنامج LabVIEW MathScript للحصول على النتيجة.

 

الشكل 2.22 دارة المثال 2.8 مع اختيار مختلف للعقدة المرجعية. انظر التمرين 2.9.

 

التمرين 2.9        أعد تحليل الدارة في المثال 2.8، باستخدام العقدة المرجعية وكمونات العقد الموضحة في الشكل 2.22. أ. أولا اكتب معادلات الدارة. ب. اكتب المعادلات بشكلها العام. جـ. حل المعادلات بالنسبة لـ ، ، و . (ستختلف قيم الكمونات عن تلك التي في المثال 2.8، لأن ، ، و  ليست الكمونات نفسها في الشكلين.) د. أوجد التيار . (بالطبع إن  هي ذاتها في الشكلين، ولذلك فستكون القيم هي ذاتها أيضا.)

الجواب  

أ.

 

 

 

ب.

 

 

جـ. ؛ ؛ .

د. .

 

 

الدارات التي تحتوي على منابع الكمون

عندما تحتوي الدارة على منبع كمون وحيد، يمكننا عادة اختيار العقدة المرجعية من إحدى نهايتي المنبع، ومنه ينقص أحد الكمونات المجهولة المطلوب البحث عنها.

 

المثال 2.9     التحليل بكمونات العقد

اكتب معادلات الدارة الموضحة في الشكل 2.23 ثم اكتبها بشكلها العام.

الحل       لاحظ أننا حددنا العقدة المرجعية في النهاية السفلية لمنبع الكمون. لذلك سيكون الكمون عند العقدة 3 معلوما وقيمته 10 فولت، ولا نحتاج لتحديد رمز خاص بكمون هذه العقدة.

عند كتابة معادلات الدارة الخاصة بالعقدتين 1 و2، نحصل على

 

 

 

والآن نقوم بتجميع الحدود ووضع الثوابت على طرف اليمين للمعادلة فنحصل على

 

 

 

وبذلك نحصل على المعادلات اللازمة لحساب قيمتي  و  من الشكل العام.

 

التمرين 2.10      حل معادلات المثال 2.9 بالنسبة لكل من  و .

الجواب     ؛ .

التمرين 2.11      أوجد كمونات العقد  و  في الدارة الموضحة في الشكل 2.24.

الجواب     ، .

 

الشكل 2.23 دارة المثال 2.9.

 

الشكل 2.24 دارة التمرين 2.11

 

الشكل 2.25 يتم دمج العقد عن طريق رسم خط منقط يحيط بعدد من العقد مع العناصر الموصولة بينها.

 

يختلف أحيانا نمط كتابة معادلات كمونات العقد عن الشكل الذي وضحناه سابقا. خذ الدارة في الشكل 2.25 على سبيل المثال، ولاحظ أن  لأن المنبع ذو القيمة 15فولت موصول بين العقدة 3 والعقدة المرجعية. ولذلك سنحتاج إلى معادلتين تربطان بين الكمونات المجهولة  و .

إذا حاولنا كتابة معادلة العقدة 1، فيجب علينا ترميز التيار الذي يعطيه منبع الـ 10فولت برمزه الخاص. يمكننا ترميزه كتيار مجهول، لكن عندها سنحصل على عدد أكبر من المجاهيل والمعادلات اللازم حلها. عادة ما نحاول تقليل المجاهيل، خاصة عندما نقوم بالحل يدويا. لا يمكن كتابة معادلة التيار عند أي عقدة في هذه الدارة بدلالة كمونات العقد (حتى بالنسبة للعقدة المرجعية) بسبب وجود منبع كمون موصول مع كل واحدة من العقد.

يمكن الحصول على معادلة التيار بشكل آخر عن طريق دمج العقد (Supernode). يتم ذلك برسم خط منقّط حول عدد من العقد بحيث تحيط بالعناصر الموصولة بينها، كما في الشكل 2.25. يوضح الشكل عمليتي دمج للعقد بحيث تتضمن كل واحدة منبعا للكمون.

يمكننا تقديم قانون كيرشوف للتيار . وعلى هذا الأساس يمكننا تطبيق قانون KCL على العقد المدموجة باعتبارها مجموعة مغلقة. فمثلا، بالنسبة للمجموعة المحيطة بمنبع الـ 10فولت، نقوم بجمع التيارات جبريا ومساواتها بالصفر فنحصل على

 

(2.37)

 

 

كل حد من الطرف الأيسر للمعادلة يمثل تيارا يخرج من مجموعة العقد إلى أحد المقاومات. وبذلك حصلنا على معادلة تيار ،عن طريق دمج العقد ومنبع الـ 10فولت، دون إضافة متحول جديد يدل على تيار المنبع.

الآن، قد نرى من السهل كتابة معادلة تيار جديدة لمجموعة العقد الثانية، لكن سنحصل على معادلة مماثلة لتلك التي حصلنا عليها سابقا. بشكل عام، سنحصل على معادلات متماثلة إذا قمنا باستخدام جميع عقد الدارة في كتابة معادلات التيار. كانت العقدتان 1 و2 جزءا من المجموعة الأولى، بينما العقدة 3 والعقدة المرجعية هما جزء من المجموعة الثانية. وبذلك نكون قد استخدمنا جميع العقد الأربعة للدارة في كتابة معادلات التيار.

إذا حاولنا حل كمونات العقد باستخدام المعادلتين المتماثلتين وتعويض المتحولين بدلالتيهما، فستختفي جميع الحدود عند نقطة معينة ولن نستطيع الحصول على قيم كمونات العقد. في برنامج الـ MATLAB، سيقوم البرنامج بتنبيهك إلى أن G هي مصفوفة مفردة، أي أن محددها يساوي الصفر. إذا حدث هذا، فعلينا العودة إلى كتابة المعادلات، وإيجاد معادلة مختلفة لاستخدامها في الحل. وعلى كل الأشكال، فلن يحدث هذا الشيء إن تجنبنا استخدام جميع العقد عند كتابة معادلات التيار.

الشكل 2.26 تشكل كمونات العقد ، ، و منبع الـ 10 فولت حلقة مغلقة يمكن تطبيق KVL عليها. (هذه الدارة هي نفسها الموضحة في الشكل 2.25.)

 

هناك طريقة أخرى للحصول على معادلة مستقلة للتيار. يمكننا استخدام KVL لأن ، منبع الـ 10فولت، و  تشكل حلقة مغلقة كما هو موضح في الشكل 2.26، حيث استخدمنا الأسهم للدلالة على قطبية كل من  و . بالانتقال مع عقارب الساعة وجمع الكمونات الموجودة في الحلقة، نحصل على

 

(2.38)

 

 

تشكل المعادلتان 2.37 و 2.38 مجموعة مستقلة يمكن استخدامها وحلها بالنسبة لـ  و  (على فرض أننا نعرف قيم الممانعات).

 

التمرين 2.12    اكتب معادلة التيار الخاصة بمجموعة العقد المحيطة بمنبع الـ 15فولت في الشكل 2.25. بين كيف أن هذه المعادلة مماثلة للمعادلة 2.37.

التمرين 2.13    اكتب مجموعة من المعادلات المستقلة الخاصة بكمونات العقد الموضحة في الشكل 2.27.

الجواب  

KVL:

 

 

KCL لمجموعة العقد المحيطة بمنبع الـ 10 فولت:

 

الشكل 2.27 دارة التمرين 2.13.

 

 

 

KCL للعقدة 3:

 

 

 

KCL للعقدة المرجعية:

 

 

 

يجب أن تحتوي مجموعة المعادلات على معادلة KVL لكي تصبح مجموعة مستقلة. يمكن استخدام أي معادلتين من معادلات KCL الثلاثة لإكمال مجموعة المعادلات. (تستخدم معادلات KCL الثلاثة كل العقد في الدارة، لذلك فهي لا تشكل مجموعة مستقلة.)

 

الدارات التي تحتوي على منابع متحكم بها

تضيف المنابع المتحكم بها قدرا بسيطا من التعقيد لطريقة الحل بكمونات العقد. (تذكر أن قيمة المنبع المتحكم به تتعلق بتيار أو كمون موجود في مكان آخر من الدارة.) عند استخدام التحليل بواسطة كمونات العقد لحل هذه الدارات، نقوم أولا بكتابة المعادلات تماما كما قمنا في الدارات التي تحتوي على المنابع المستقلة. ثم نقوم بالتعبير عن المتحول الخاص بالمنبع المتحكم به بدلالة متحولات الكمون عند العقد ونعوضه في معادلات الدارة ليختفي منها. نوضح هذه الطريقة بمثالين.

 

المثال 2.10   التحليل بكمونات العقد عند وجود منابع متحكم بها

اكتب مجموعة مستقلة من المعادلات لكمونات العقد الموضحة في الشكل 2.28.

الحل       نكتب أولا معادلات KCL لكل عقدة، ونكتب ضمنها تيار المنبع المتحكم به أيضا، تماما كما نفعل مع منبع التيار العادي:

 

الشكل 2.28 دارة تحتوي على منبع تيار متحكم به عن طريق التيار. انظر المثال 2.10.

 

(2.39)(2.40)

(2.41)

 

 

ثم نقوم بإيجاد العلاقة الخاصة بمتحول التحكم  بحيث تكون بدلالة كمونات العقد. لاحظ أن  هو التيار الذي يخرج من العقدة 3 عبر . ومنه يمكننا كتابة العلاقة

 

(2.42)

 

 

وفي النهاية نستخدم المعادلة 2.42 لنستبدل بها  في المعادلات 2.39، 2.40، و 2.41. ومنه نحصل على مجموعة المعادلات المطلوبة:

 

(2.43)(2.44)

(2.45)

 

 

والآن يمكننا كتابة هذه المعادلات بشكلها العام وحلها بالنسبة لـ ، ، و  بفرض أننا نعلم قيمة كل من  والممانعات الموجودة في الدارة.

 

 

المثال 2.11    التحليل بكمونات العقد عند وجود منابع متحكم بها

اكتب مجموعة مستقلة من المعادلات لكمونات العقد الموضحة في الشكل 2.29.

الحل       نقوم أولا بتجاهل المنبع المتحكم به ونعامله على أنه منبع مستقل، ثم نكتب معادلات الدارة. نلاحظ أنه لا يمكننا كتابة معادلات التيار عند كل من العقدتين 1 و2، لأن منبع الكمون يتصل بهم. لكن يمكننا استخدام KVL لكتابة المعادلة:

 

(2.46)

 

ثم نستخدم KCL لكتابة معادلات التيار. بعد دمج العقد المتصلة بمنبع الكمون نحصل على

 

 

 

الشكل 2.29 دارة تحتوي على منبع كمون متحكم به عن طريق الكمون. انظر المثال 2.11.

 

عند العقدة 3،

 

(2.47)

 

 

عند العقدة المرجعية،

 

(2.48)

 

 

لا بد أن نجد هنا معادلات متماثلة، وذلك لأننا استخدمنا جميع العقد الأربعة في الدارة لكتابة المعادلات. يجب علينا استخدام المعادلة 2.46 واثنتين من معادلات KCL لنحصل على مجموعة مستقلة من المعادلات. أما المعادلة 2.46 فتحتوي على متحول التحكم ، والذي يجب أن نحذفه من المعادلات بدلالة كمونات العقد لنستطيع إيجادها.

لذلك ستكون خطوتنا القادمة هي كتابة علاقة خاصة بمتحول التحكم  بدلالة كمونات العقد. لاحظ أن ، ، و  تشكل حلقة مغلقة. نحصل على المعادلة التالية عند الانتقال حول هذه الحلقة مع عقارب الساعة

 

 

 

وبحلها بالنسبة لـ  نحصل على

 

 

 

والآن نقوم بالتعويض في العلاقة 2.46، لنحصل على

 

(2.49)

 

 

الشكل 2.30 دارة التمرين 2.14.

 

تشكل العلاقة 2.49 مع أي اثنتين من علاقات KCL مجموعة مستقلة يمكن حلها بالنسبة لكمونات العقد.

 

باستخدام المبادئ التي ناقشناها في هذه الفقرة يمكننا كتابة معادلات كمونات العقد لأي دارة تتألف من منابع وممانعات. ولذلك يمكننا حساب التيارات والكمونات الخاصة بأي دارة بمساعدة برامج الحاسب أو الآلة الحاسبة لحل معادلات الدارة.

 

سنقوم الآن بتلخيص خطوات تحليل الدارات بطريقة كمونات العقد:

  1. تحديد العقدة المرجعية وتسمية متحولات كمونات العقد المجهولة. إذا قمنا باختيار العقدة المرجعية على أحد أطراف منبع كمون مستقل فستحصل على كمون العقدة الثانية وبذلك يقل عدد المجاهيل المطلوب حسابها.
  2. كتابة معادلات الدارة. نقوم أولا باستخدام KCL لكتابة معادلات التيار الخاصة بكل عقدة عادية أو مدموجة. نقوم بكتابة أكبر عدد ممكن من معادلات التيار دون استخدام جميع العقد، ثم إذا لم تكفنا هذه المعادلات بسبب وجود منبع كمون موصول بين عقدتين ما، نقوم باستخدام قانون KVL لكتابة المعادلة (أو المعادلات) المتبقية.

 

الشكل 2.31 دارة التمرين 2.15.
  1. إذا احتوت الدارة على منابع متحكم بها، نقوم بإيجاد معادلة تعبر عن متحول التحكم بدلالة كمونات العقد، ثم نعوضه في معادلات الدارة لنحصل على معادلات تحتوي فقط على الكمونات المجهولة للعقد.
  2. نكتب المعادلات بشكلها العام ونحلها بالنسبة لكمونات العقد.
  3. نستخدم قيم كمونات العقد التي حصلنا عليها لحساب أي تيار أو كمون آخر في الدارة.

 

التمرين 2.14      أوجد التيارات الموضحة في دارة الشكل 2.30 بطريقة كمونات العقد.

الجواب     أ. ؛ ب. .

التمرين 2.15      أوجد قيمة كل من  و  في الشكل 2.31 باستخدام طريقة كمونات العقد.

الجواب     ، .

 

استخدام برنامج MATLAB لحل المعادلات بالرموز عن طريق استخدام الأداة “Symbolic Toolbox

إذا كان إصدار الـ MATLAB عندك يحتوي على ميزة الـ “Symbolic Toolbox”، فيمكنك استخدامها لحل كمونات العقد والمعادلات الأخرى بالرموز. (أداة الـ MathScript في برنامج الـ LabVIEW لا تدعم القدرة على حل المعادلات بالرموز.) وللتوضيح سنقوم بحل المعادلات 2.43، 2.44، و 2.45 من المثال 2.10.

>> clear

 

نقوم أولا بمسح كل ما في مساحة العمل، ثم ندخل المعادلات تحت الأمر Solve ونكتب بعده المتحولات التي نريدها.

 

>> [V1، V2، V3] = solve(‘(V1 – V2)/R1 = Is + 2*(V3 – V2)/R3’ ،

                               ‘(V2 – V1)/R1 + V2/R2 + (V2 – V3)/R3 = 0’ ،

                               ‘(V3 – V2)/R3 + V3/R4 + 2*(V3 – V2)/R3 = 0’ ،

                               ‘V1’ ، ‘V2’ ، ‘V3’)

V1 =

(Is*R1*R2 + Is*R1*R3 + 3*Is*R1*R4 + Is*R2*R3 + 3*Is*R2*R4)/(3*R2 + R3 +3*R4)

V2 =

(Is*R2*R3 + 3*Is*R2*R4)/(3*R2 + R3 + 3*R4)

V3 =

(3*Is*R2*R4)/(3*R2 + R3 + 3*R4)

>> % يقوم الأمر

>> % solve

>> % بإعطاء الحل، لكن قراءته ستكون صعبة بعض الشيء.

>> % يمكننا الحصول على شكل أفضل من سابقه عن طريق استخدام الأمر

>> % pretty

>> % حيث نجمع بين ثلاثة أوامر منه في سطر واحد “أمر خاص بكل متحول” ونضع بينهم فواصل.

>> pretty(V1)، pretty(V2)، pretty(V3)

Is R1 R2 + Is R1 R3 + 3 Is R1 R4 + Is R2 R3 + 3 Is R2 R4

———————————————————————–

3 R2 + R3 + 3 R4

 

Is R2 R3 + 3 Is R2 R4

—————————-

3 R2 + R3 + 3 R4

 

3 Is R2 R4

———————–

3 R2 + R3 + 3 R4

 

(قمنا هنا بكتابة النتائج التي حصلنا عليها باستخدام الإصدار R2008b من برنامج الـ MATLAB؛ قد نحصل على أشكال مختلفة للنتائج من إصدار إلى آخر، لكن القيمة الرياضية تبقى نفسها.) أما النتائج بالشكل الرياضي المعتاد فستكون كالتالي:

 

 

 

التحقق من النتائج

من الجيد أن تقوم دائما بالتحقق من النتائج. أولا، تأكد من أن النتائج لها الواحدة المناسبة، أي الفولت في هذه الحالة. إذا لم تكن الواحدة صحيحة، تأكد فيما إن كان للأرقام في المعادلة أية واحدات. نرى من خلال العودة إلى الدارة في الشكل 2.28 أن القيمة الرقمية الوحيدة المدخلة إلى المعادلة هي عامل ربح التيار في منبع التيار المتحكم به عن طريق التيار، وهي من دون واحدة.

وبالعودة إلى مخطط الدارة مجددا، يمكننا أن نلاحظ أن  عندما تكون ، ونتأكد من أن هذه الحالة محققة في المعادلات. وفي طريقة أخرى للتحقق يمكننا ملاحظة أن  عندما تكون . وأيضا في طريقة أخرى للتحقق، يمكننا ملاحظة أنه عندما تسعى  إلى اللانهاية فيجب أن يكون ، (وبذلك يصبح منبع التيار المتحكم به عن طريق التيار دارة مفتوحة). وهنالك أيضا العديد من الطرق للتأكد من الحل مثل ، ، و . كما أنه يمكن تطبيق الكثير من طرق التأكد المماثلة. لا تستطيع هذه الطريقة في التأكد من ضمان صحة النتائج، لكنها تستطيع إيجاد الكثير من الأخطاء.

 

التمرين 2.16      استخدم خاصية الحل بالرموز في برنامج الـ MATLAB لحل المعادلات 2.47، 2.48، و 2.49 بالنسبة لكمونات العقد بالرموز.

الجواب

 

 

 

قد تختلف أشكال النتائج التي تحصل عليها مع اختلاف إصدارات الـ MATLAB أو أداة الحل بالرموز التي تستخدمها، لكن القيمة الجبرية للمعادلات تبقى نفسها.

 

Advertisements

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار وردبرس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d مدونون معجبون بهذه: