3.1. المكثفات


0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009 0010 0011

يتم صنع المكثفات عن طريق فصل طبقتين ورقيات من النواقل, عادة ما تكون معدنية, عن بعضها باستخدام طبقة عازلة رقيقة. في المكثفات ذات اللبوسات المتوازية, تكون الطبقات مسطحة ومتوازية كما في الشكل 3.1. تسمى الطبقة التي تفصل بين اللبوسين بـ العازل, ومن الممكن أن تكون عبارة عن هواء, مايلر (Mylar®), بوليستر, بوليبروبيلين (polypropylene), ميكا, أو العديد من المواد الأخرى.

لنرى الآن ما الذي يحدث عندما يمر التيار عبر المكثفة. لنفترض أن التيار يمر نحو الأسفل, كما في الشكل 3.2(a). يتكون التيار المار عبر معظم المعادن من الكترونات متحركة, والتمثيل العادي للتيار الذي يتجه نحو الأسفل يدلنا على أن الالكترونات تتحرك نحو الأعلى, لتتجمع في الصفيحة السفلية للمكثفة. لذلك ستشكل الصفيحة السفلية نقطة ذات شحنة سالبة تولد حقلا كهربائية عبر العازل. يقوم هذا الحقل المتولد بإجبار الالكترونات على مغادرة الطبقة العلوية للمكثفة

 

الشكل 3.1 مكثفة ذات لبوسات متوازية تتكون من صفيحتين ناقلتين مفصولة عن بعضها بطبقة عازلة.

 

 

بذات النسبة التي يتم فيها تجميع الالكترونات في الطبقة السفلية. ولهذا السبب يظهر التيار وكأنه يمر عبر المكثفة. بينما يتم بناء الشحنة, يظهر فرق في الكمون على طرفي المكثفة.

نقول عن الشحنة المتراكمة في إحدى الطبقات أنها مخزنة في المكثفة, لكن المجموع الجبري لكامل الشحنات الموجودة في المكثفة دائما يساوي الصفر وذلك لأن قيمة الشحنة الموجبة في إحدى اللبوسين تساوي قيمة الشحنة السالبة على اللبوس الثاني.

 

مبدأ طوفان السوائل

بمقارنة مبدأ عمل المكثفة مع مبدأ طوفان السوائل, نجد أن المكثفة تمثل خزانا يحتوي على غشاء مرن يفصل بين المدخل والمخرج كما في الشكل 3.2(b). عندما يمر السائل عبر المدخل, يتمدد الغشاء الموجود مما يخلق قوة (تماثل كمون المكثفة) تقوم بمنع دخول المزيد من السائل. كما أن كمية السائل الموجودة في منطقة تغير شكل الغشاء (بين وضعه الأصلي ووضعه الجديد) تكافئ كمية الشحنة المخزنة على أحد لبوسي المكثفة.

 

الشحنة المخزنة بدلالة الكمون

كمية الشحنة q المخزنة في مكثفة مثالية, تتناسب طردا مع الكمون الظاهر على طرفيها:

(3.1)

 

ثابت التناسب هو سعة المكثفة C والتي تقاس بالفاراد (F). حيث أن الفاراد يكافئ “كولون لكل فولت”.

لكي يكون كلامنا دقيقا يجب ذكر أن الشحنة q هي القيمة المطلقة للشحنة على اللبوس المحدد كالنقطة الموجبة لمرجع الكمون v. ولذلك ستكون الشحنة ذات قيمة موجبة إذا كان الكمون عند هذه النقطة موجبا, وستكون الشحنة سالبة فيما إذا كان الكمون عند هذه النقطة (المرجع الموجب للكمون) سالبا.

واحدة الفاراد كبيرة جدا بالنسبة للمكثفات, حيث أنه في أغلب التطبيقات نتعامل مع مكثفات تتراوح سعاتها ما بين البيكوفاراد أما المكثفات التي سعتها من رتبة الفيمتوفاراد femtofarad () فهي المسؤولة عن محدودية أداء الحواسيب.

 

التيار بدلالة الكمون

درسنا سابقا أن التيار هو كمية الشحنة التي تمر خلال الزمن. بأخذ مشتق الطرفين للمعادلة 3.1 بالنسبة للزمن, نحصل على هذه العلاقة

(3.2)

 

عادة تكون السعة ثابتة ولا تتغير مع الزمن. (قد تكون متغير في بعض التطبيقات, مثل المكثفة في الميكروفون.) أي أنه يمكننا كتابة العلاقة السابقة بالشكل

(3.3)

 

نلاحظ من العلاقتين 3.1 و 3.3 أنه كلما ازداد الكمون, سيمر التيار عبر المكثفة وستزداد قيمة الشحنة المتراكمة على كل لبوس. أما إذا بقي الكمون ثابتا, فستكون الشحنة أيضا ثابتة وسيكون التيار المار معدوما. ولذلك ستظهر المكثفة كقاطع مفتوح بالنسبة للجهد المستمر الثابت.

يظهر الشكل 3.3 طريقة تمثيل المكثفة في الدارات كما تظهر عليه الجهات المرجعية للكمون v والتيار i. لاحظ كيف أن الجهات المرجعية للكمون والتيار تحقق مبدأ المرجع المجهول. أي أن مرجع التيار يدخل في المرجع الموجب للكمون. أما إذا تعارضت الجهات المرجعية مع مبدأ المرجع المجهول, فستظهر إشارة سالبة في العلاقة 3.3:

(3.4)

 

في بعض الأحيان نقوم بلفت الانتباه إلى أن كل من الكمون والتيار يتبع للزمن وذلك بكتابة  و .

 

الشكل 3.3 رمز المكثفة في الدارات, بالإضافة إلى الجهات المرجعية للتيار  والكمون .

 

المثال 3.1      حساب تيار المكثفة بمعرفة الكمون

بفرض أننا طبقنا الكمون في الشكل 3.4(b) على مكثفة سعتها 1 ميكروفاراد. ارسم تغيرات كل من شحنة وتيار المكثفة مع الزمن.

الحل       يمكننا حساب الشحنة المخزنة في اللبوس العلوي للمكثفة من المعادلة 3.1. [نعلم أن  تمثل شحنة اللبوس العلوي لأن ذلك اللبوس هو صاحب المرجع الموجب لـ .] إذا,

 

 

 

كما هو موضح في الشكل 3.4 (c).

يمكن حساب التيار المار عبر المكثفة من القانون 3.3:

 

 

وكما نعلم, فإن اشتقاق منحني الكمون بالنسبة للزمن يعطي المماس له. إذا, عندما تكون t بين 0 و 2 ميكروثانية, سنحصل على

 

 

و أيضا

 

 

يكون الجهد ثابتا بين اللحظتين  و  ميكروثانية () والتيار يساوي الصفر. أما بين اللحظتين 4 و5 ميكروثانية, نحصل على

 

 

و التيار

 

 

يبين الشكل 3.4(d) رسما للتابع .

لاحظ أنه كلما ازداد فرق الكمون, سيمر تيار عبر المكثفة وتزداد الشحنة المتجمعة على اللبوسات. عندما يكون الكمون ثابت, سيكون التيار مساويا للصفر وتكون الشحنة ثابتة. أما عندما يتناقص الكمون, فستنعكس جهة التيار, وستتفرغ الشحنة المتراكمة من المكثفة.

 

 

التمرين 3.1        تعطى الشحنة الموجودة في مكثفة سعتها 2 ميكروفاراد بالعلاقة

 

 

أوجد العلاقات التي نحسب منها كلّا من الجهد والتيار. (الزاوية تقاس بالراديان.)

الجواب   ,  .

 

 

الجهد بدلالة التيار

لنفرض أننا نعلم قيمة التيار  المار عبر المكثفة C ونريد حساب الشحنة والكمون. بما أن التيار هو معدل الشحنة المارة خلال زمن محدد, فيمكننا مكاملة التيار للحصول على الشحنة. في معظم مسائل تحليل الدارات, نبدأ التحليل عند لحظة بدائية , تكون عندها قيمة الشحنة معلومة وهي . عندها يمكن حساب الشحنة كتابع للزمن كما يلي

(3.5)

 

إذا قمنا بمساواة الطرف الأيمن من المعادلة 3.1 و3.5 مع بعضهما وقمنا بحل المعادلة الناتجة بالنسبة للكمون  فنحصل على

(3.6)

 

ومنه نستطيع حساب الشحنة البدائية للمكثفة من العلاقة

(3.7)

 

نعوض في العلاقة 3.6 فنحصل على

(3.8)

 

وعادة ما نختار الزمن البدائي بحيث تكون .

 

المثال 3.2      حساب جهد المكثفة بمعرفة التيار

علما أن , يعطى التيار المار بمكثفة سعتها 0.1 ميكروفاراد بالعلاقة

 

 

(واحدة الحد داخل الـ sin هي الراديان) الشحنة البدائية للمكثفة هي . قم برسم , , و  بحيث تكون قيمتها تابعة للزمن.

الحل       أولا نستخدم المعادلة 3.5 لإيجاد صيغة تعبر عن الشحنة:

 

 

 

وبحل المعادلة 3.1 بالنسبة للكمون, نحصل على

 

 

يوضح الشكل 3.5 الرسم البياني لكل من , , و. في اللحظة التي تلي  مباشرة يكون التيار موجبا وتزداد قيمة . بعد أول نصف للدورة, يصبح التيار  سالبا وتأخذ  بالتناقص. بعد نهاية دورة واحدة, نجد أن التيار والشحنة قد عادا للقيمة الصفرية.

 

 

الطاقة المختزنة

الاستطاعة المقدمة إلى أي عنصر في الدارة تساوي جداء التيار بالكمون (وذلك إن حقق العنصر قاعدة المرجع المجهول):

(3.9)

 

نستخدم العلاقة 3.3 لنعوض فيها قيمة التيار, فنحصل على

 

 

(3.10)

 

ليكن لدينا مكثفة كمونها البدائي . إذا ستكون شحنتها البدائية أيضا مساوية للصفر, ونقول أن المكثفة غير مشحونة. لنفرض أيضا أن كمون المكثفة, بين اللحظة  ولحظة ما بعدها , يتغير من الصفر إلى القيمة  فولت. تحصل المكثفة على الطاقة كلما ازدادت قيمة الكمون, حيث يتم تخزين هذه الطاقة في الحقل الكهربائي بين اللبوسين.

إذا قمنا بمكاملة الاستطاعة التي تحصل عليها المكثفة بين اللحظتين  و , نحصل على الطاقة المقدمة للمكثفة:

(3.11)

 

بتعويض العلاقة 3.10 مكان الاستطاعة, نحصل على

(3.12)

 

باختصار تفاضل الزمن وتبديل النهايات بالكمونات المناسبة, نحصل على

(3.13)

 

بإجراء التكامل والتعويض, تظهر العلاقة

(3.14)

 

حيث تمثل هذه العلاقة الطاقة المخزنة في المكثفة, والتي يمكن فيما بعد إعادتها إلى الدارة.

إذا قمنا بحل المعادلة 3.1 بالنسبة للكمون  وتعويضه في المعادلة 3.14, عندئذ يمكننا استحصال علاقتين بديلتين لحساب الطاقة المخزنة:

(3.15)

 

(3.16)

 

 

المثال 3.3      التيار والاستطاعة والطاقة في المكثفة

لنفرض أننا طبقنا الإشارة في الشكل 3.6(a) على مكثفة سعتها 10 ميكروفاراد. احسب وارسم التيار, والاستطاعة المقدمة, والطاقة المخزنة بين اللحظتين 0 و 5 ثانية.

 

الحل       أولا, علينا كتابة المعادلات التي تعبر عن الجهد كتابع للزمن:

 

 

باستخدام العلاقة 3.3, يمكننا الحصول على معادلة تعبر عن التيار:

 

 

 

 

الرسم البياني لـ  موضح في الشكل 3.6(b).

الآن, نبحث عن معادلات تعبر عن الاستطاعة وذلك بضرب الجهد بالتيار:

 

 

يوضح الشكل 3.6 (c) الرسم البياني لـ . لاحظ كيف تكون الاستطاعة موجبة بين اللحظتين 0 و 1 ثانية, مما يدل على أن المكثفة تتلقى الطاقة. بين اللحظتين 3 و 5 ثانية, تخرج الطاقة من المكثفة لتعود إلى الدارة.

سنقوم الآن باستخدام العلاقة 3.14 لإيجاد علاقات تعبر عن الطاقة المخزنة:

 

 

 

الشكل 3.7 تيار ذو موجة مربعة للتمرين 3.2.

 

كما يبين الشكل 3.6(d) الرسم البياني لـ .

 

 

التمرين 3.2        يبين الشكل 3.7 التيار المار عبر مكثفة سعتها 0.1 ميكروفاراد. في اللحظة  يكون الجهد على طرفي المكثفة مساويا الصفر. احسب قيمة الشحنة, والجهد, والاستطاعة, والطاقة المخزنة كتوابع للزمن وارسم هذه التوابع على أساس تغير القيمة مع الزمن.

الجواب   يبين الشكل 3.8 الرسمات البيانية المطلوبة.

 

 

Advertisements

اترك رد

إملأ الحقول أدناه بالمعلومات المناسبة أو إضغط على إحدى الأيقونات لتسجيل الدخول:

شعار وردبرس.كوم

أنت تعلق بإستخدام حساب WordPress.com. تسجيل خروج   /  تغيير )

Google+ photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Google+. تسجيل خروج   /  تغيير )

صورة تويتر

أنت تعلق بإستخدام حساب Twitter. تسجيل خروج   /  تغيير )

Facebook photo

أنت تعلق بإستخدام حساب Facebook. تسجيل خروج   /  تغيير )

Connecting to %s

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

%d مدونون معجبون بهذه: